I mondi fenomenologici infiniti e di tipo inaccessibile, secondo Alain Badiou

20140610065328-alain_badiou_painting_
Credit: https://www.indiegogo.com, ritratto di A. Badiou

Oggi propongo un estratto da una di quelle opere teoretiche che dovrebbe essere attentamente letta da ogni filosofo, anche se solo per poi distanziarsene criticamente e radicalmente, ma che ad oggi in Italia è ancora in attesa di una traduzione nonostante siano trascorsi circa 9 anni dalla sua pubblicazione in francese e 6 dalla sua traduzione in inglese, dalla quale ultima ho cercato di realizzare una traduzione spero il più aderente possibile al pensiero dell’autore.

Mi riferisco al libro “Logics of Worlds” del filosofo francese Alain Badiou, che segue al suo primo fondamentale testo teoretico, questo invece tradotto in italiano (dopo circa sette anni), ossia “L’essere e l’evento” (1995), in cui il filosofo francese elabora una fenomenologia trascendentale oggettiva, che cerca di arricchire l’ontologia radicale, estensionale e “minimale” elaborata nel primo testo teoretico e che si fondava sulla tesi meta-ontologica della matematica – in particolare la teoria degli insiemi ZFCcome ontologia, aprendo ad una logica fenomenologica ed intensionale dei mondi fondata sulla teoria delle categorie, sulla topologia insiemistica e l’algebra di Heyting.

Resta, in ogni caso, una costante del pensiero badusiano la “matematizzazione” del pensiero filosofico teoretico in quanto il logos matematico è ritenuto dal filosofo il più idoneo al discorso ontologico sull’essere ed a quello fenomenologico del suo apparire trascendentale in infiniti mondi.

Tale approccio radicale per l’uso massivo della matematica, intrinsecamente contrapposto a quello poetico ed “ontologico-fenomenologico” di Heidegger o a quello logico-dialettico di Hegel (che notoriamente poneva la filosofia e la Logica al di sopra del pensiero matematico), ma anche a quello fenomenologico di Husserl (ancorato alla intenzionalità della coscienza e ad un “io puro” trascendentale), lo ha quasi immediatamente eletto nel “pantheon” di quei filosofi che o si “amano” o si “odiano” fino a portargli critiche, forse un pò ingenerose ma comunque motivate, di aver introdotto il “maoismo” nella filosofia, come gli ha imputato François Laruelle nel suo “Anti-Badiou. The Introduction of Maoism into Philosophy” (2013), di cui parlerò con ogni probabilità in futuro.

Una piccola premessa per consentire una lettura consapevole del brano proposto: per Badiou l’essere di cui la filosofia si occupa da oltre 2.500 anni è pura molteplicità e tale molteplicità è stata ad oggi detta nella forma più compiuta dal linguaggio astratto e formale della teoria assiomatica degli insiemi ZFC, che grazie a Cantor prima e a Zermelo-Fraenkel poi (e successivamente ai fondamentali contributi di Paul Cohen con il “forcing” e l’elaborazione del concetto di “insieme generico”) ha saputo “suturarsi” linguisticamente, a dire del filosofo, all’essere in quanto molteplicità di molteplicità.

Tale molteplicità di molteplicità, è bene sottolinearlo, è per Badiou ontologicamente inconsistente, cioè non ha alcuna struttura pre-fissata o relazione originaria che non sia la relazione di appartenenza insiemistica, che è quella relazione fondamentale che consente “il conto come uno” del molteplice, ossia che permette di individuare all’interno della molteplicità inconsistente dell’essere un molteplice che ne racchiude altri in base ad una data “proprietà comune”.

Per Badiou, infatti, “l’Uno non è”.

Tale molteplice (o insieme) è un concetto primitivo ed è tale che ogni suo elemento è esso stesso un molteplice, tanto che questa molteplicità di molteplicità trova il suo “punto di arresto” o, come dice Badiou, il suo “nome proprio” solo nel vuoto (uno dei dieci assiomi fondamentali della teoria ZFC), che assume una posizione riconducibile a quella di “cominciamento inaugurale” e di “fondamento” (a sua volta infondato se non come assioma e quindi come “decisione abissale”) dell’ontologia.

empty set
Credit: http://www.sophia.org/, il simbolo dell’insieme vuoto

In qualche modo, l’ontologia del vuoto di Badiou porta alle estreme conseguenze, rovesciandola con l’uso del “matema” (il pensiero che per Heidegger era di tipo calcolante e quindi “re-legato” all’ente), la “scoperta” heideggeriana di un Essere come ni-ente.

Infatti, laddove il filosofo tedesco di Meßkirch, però, aveva cercato – anche disperatamente – di ancorare l’Essere ni-ente al Dasein, cioè all’esser-ci di quel particolare ess-ente che è l’essere umano, elaborando una fenomenologia ontologica fondata sulla co-appartenenza (quindi di tipo “circolare”) di Essere e Dasein, che anche nella cosiddetta “kehre” – dove si cercherà di decentrare l’importanza del Dasein a favore dell’Ereignis (l’Essere come Evento) – non cederà al suo fondamentale assunto trascendentale di un orizzonte di senso, anche se destinale, che può aprirsi a partire dal “ni-ente dell’Essere” solo per un esserci, il filosofo francese (nato a Rabat in Marocco e attualmente professore a Parigi alla ‘École normale supérieure’) affermerà la più totale insensatezza dell’essere in quanto tale nonché la sua inconsistenza ontologica (contro un Essere come presenza di Heidegger, anche se al tempo stesso velata come verità in forma di “aletheia”) e totale indifferenza all’essere umano, che in quanto “animale parlante” non è che un esserci particolare e contingente fra gli infiniti altri esserci.

Ma come si manifesta al livello fenomenologico questa molteplicità di molteplicità ontologicamente inconsistente? In definitiva, noi “animali parlanti” osserviamo delle strutture che ci appaiono in taluni casi anche come “invarianti”, come ad esempio le “leggi” fisiche o quelle logiche.

Queste “strutture”, per Badiou, emergono dalla molteplicità inconsistente dell’essere in forma trascendentale oggettiva (cioè, in sintesi, descrivibile attraverso una logica algebrica, in particolare l‘algebra di Heyting) e si effettuano all’interno di mondi trascendentali nei quali le relazioni fenomenologiche sono descrivibili dalla logica categoriale e dalla topologia insiemistica.

Nel pensiero badusiano la “differenza ontologica “ Essere-ente di Heidegger diventa la differenza fra essere ed apparire, fra molteplicità di molteplicità e fenomeno trascendentale oggettivo, fra pensiero matematico e pensiero logico.

La fecondità del pensiero badusiano, ancora poco noto in Italia, è – come a mio avviso ha ben chiarito Ray Brassier nel suo “Nihil Unbound: Enlightenment and Extinction” (2007) – nella sua radicale affermazione di un essere-niente ed insensato che ha nel significante del vuoto il suo “nome proprio” e che, come dice Brassier, ha portato alla luce la fondamentale “negatività non dialettica” originaria dell’essere in quanto niente: al vuoto, infatti, non appartiene alcun molteplice ed è su questa “negatività” – la non appartenenza – che si “fonda” poi il molteplice come ciò a cui appartiene – nel momento che è contato come uno – uno o più molteplici.

Questa originarietà della non-appartenenza è ciò che rende l’essere – o meglio il Reale, come lo chiama Brassier – una molteplicità di molteplicità sempre in eccesso rispetto al nostro logos.

Più dubbia, secondo Brassier, è tutta l’architettura filosofico-matematica badusiana, ossia la sua idealistica posizione di una identità fra ontologia e teoria ZFC e poi l’elaborazione di una logica di “inscrizione” attraverso cui l’essere-niente dovrebbe manifestarsi trascendentalmente in forma strutturata e con delle relazioni di tipo logico-matematico.

Ancor più evanescente sembrerebbe essere il concetto di “evento” nella sua definizione come insieme straordinario o iper insieme (“hyperset”), cioè di tipo auto-referenziale, ma qui Brassier non si esprime con una critica specifica, essendo poi tale concetto fondamentale per il pensiero politico badusiano.

Più in generale, occorre precisare che il pensiero di Badiou non afferma mai l’identità idealistica di pensiero ed essere quanto invece l’identità fra ontologia (la scienza dell’essere in quanto essere) e matematica insiemistica, dunque l’identità è relativa al discorso sull’essere e mai una riduzione dell’essere al logos matematico; in tal senso, la molteplicità di molteplicità “vuota” di Badiou risulta anch’essa, come il Reale di Brassier, sempre “in eccesso” rispetto al logos e lo stesso concetto di verità generica da lui elaborato è extra-linguistico derivando meta-ontologicamente da quello insiemistico di “insieme generico”, che è – molto in sintesi e a grana molto grossa – , un insieme che ha “tutte le proprietà che vogliamo” ed è, pertanto, sottratto all’autorità della lingua risultando “indicibile” se non sotto condizione (quindi non ha una unica formula che lo definisce, ma potenzialmente infinite formule).

Dopo questa brevissima introduzione, possiamo dunque leggere il brano estratto da “Logics of Worlds” in cui Badiou mostra che un Mondo è infinito e che la sua cardinalità è di tipo inaccessibile, ponendosi come un pensatore dell’infinito e della molteplicità contrapposto a quello della finitudine post-moderna e dell’uno sia esso quello della fenomenologia o quello della dialettica (e, ovviamente, di ogni teologia).

Buona lettura e buona riflessione.

“If we think that the galaxy, constituted as a world, is in the main composed of stars—that is of nuclear plants burning hydrogen to turn it into helium— we nonetheless must admit that the stars’ satellites, ‘cold’ planets like our Earth, are also part of the multiple-being of this world.

(Se pensiamo che la galassia, costituita come un mondo, è prevalentemente composta di stelle – cioè di centrali nucleari che bruciano idrogeno trasformandolo in elio – cionondimeno noi dobbiamo ammettere che i satelliti di tali stelle, “pianeti freddi” come la nostra Terra, sono anche parte dell’essere-molteplice di questo mondo.)

This property has a scientific name: a world is transitive, in the sense that an element of an element of the world is still of this world. Even better: given a multiple being of a world, the collection constituted by the elements of its elements is also an element of that world.

(Questa proprietà ha un nome scientifico: un mondo è transitivo, nel senso che un elemento di un elemento del mondo appartiene ancora a questo mondo. Ancora meglio: dato un essere-molteplice di un mondo, la collezione costituita dagli elementi dei suoi elementi è ancora un elemento di quel mondo.)

(…)

In other words, if you disseminate an (ontological) component of a world by examining the elements of its elements, the result of this dissemination, when counted as one (collected in its multiple-being), is still a component of the same world.

This is the first fundamental property which pertains to the operative extension of a world thought in its being: a world makes immanent the dissemination of that which composes it.

(In altre parole, se disseminiamo una componente (ontologica) di un mondo esaminando gli elementi dei suoi elementi, il risultato di questa disseminazione, quando è contata come uno (riunita nel suo essere-molteplice), è ancora una componente dello stesso mondo.

Questa è la prima fondamentale proprietà che concerne l’estensione operativa di un mondo pensato nel suo essere: un mondo rende immanente la disseminazione di ciò che lo compone.)

The world does not have a ‘beneath’ that would be external to it, a sort of pre-worldly matter. It is only a world to the extent that what composes its composition lies within its composition. But a world doesn’t have a heterogeneous ‘above’ either.

(Il mondo non ha un “fondo” che sarebbe esterno ad esso, una sorta di materia “pre-mondana”. Esso è solo un mondo nella misura in cui ciò che lo compone risiede all’interno della sua composizione. Ma un mondo non ha nemmeno un eterogeneo “sopra”.)

(…)

Likewise, the parts of the solar system, including lunar attraction as a cause of tides, or the ceaseless natural decomposition of millions of cadavers of living beings, or the mind-boggling complications of Saturn’s system of rings, together make up a local (and infinite) state of the galaxy, attributable as such to the world that the galaxy is.

(Parimenti, le parti del sistema solare, includendo l’attrazione lunare come causa delle maree, o la incessante decomposizione naturale di milioni di cadaveri di esseri viventi, o le sbalorditive complicazioni del sistema di anelli di Saturno, formano insieme uno stato locale (ed infinito) della galassia, attribuibile in quanto tale a quel mondo che la galassia è.)

In other words, if you totalize the parts of an (ontological) component of a world, counting as one the system of these parts, you get an entity of the same world. This is the second fundamental property with regard to the operative extension of a world thought in its being: a world makes immanent every local totalization of the parts of that which composes it.

(In altre parole, se totalizziamo le parti di una componente (ontologica) di un mondo, contando come uno il sistema di queste parti, otteniamo un ente-molteplice del mondo stesso. Questa è la seconda fondamentale proprietà relativa alla estensione operativa di un mondo pensato secondo il suo essere: un mondo rende immanente ogni totalizzazione locale delle parti che lo compongono.)

Its state (the count as one of the subsets of the beings that are there) is itself in the world, and not transcendent to it. Just as there is no ultimate formless matter, so there is no principle of the state of affairs.

(Il suo stato [il conto come uno dei sottoinsiemi dei molteplici che appaiono] è esso stesso nel mondo, e non è trascendente ad esso. Proprio come non c’è alcuna materia ultima senza forma, così non esiste alcun principio fondamentale dello stato delle cose.)

Neither matter (beneath) nor principle (above), a world absorbs all the multiplicities that can intelligibly be said to be internal to it.

(Nè materia (“sotto”) nè principio (“sopra”), un mondo assorbe tutte le molteplicità che possono essere dette intelligibilmente interne ad esso.)

The crucial thing to note is that this property requires the actual infinity of every world. If a world were finite, it would follow, first of all, that all the beings which enter into its composition would themselves be finite.

(Il punto cruciale da notare è che questa proprietà richiede l’infinità attuale di ogni mondo. Se un mondo fosse finito, ne seguirebbe, prima di tutto, che tutti gli enti molteplici che entrano nella sua composizione sarebbero essi stessi finiti.)

For if one among them possessed an infinity of elements, since these elements are also elements of the world, the world would have to be infinite.

(Ciò in quanto se tra di essi ci fosse un molteplice che possedesse una infinità di elementi, dal momento che questi elementi sono anche elementi del mondo, il mondo dovrebbe essere infinito.)

(…)

Let’s suppose that a world contains, on the stage of appearing, only a finite number of apparents (this number may of course be very large, for instance, 100 billion stars for a galaxy). Let us now choose one among the multiple-beings of the world which have the greatest number of elements.

(Supponiamo che un mondo contenga, nell’atto di apparire, solo un numero finito di molteplicità apparenti [questo numero può sicuramente essere molto grande, 100 miliardi per una galassia]. Scegliamo ora uno fra i molteplici del mondo che abbia il più grande numero di elementi.)

features-Betelgeuse-1
Credit: http://www.yalescientific.org/

Let’s call this element ‘Betelgeuse’, with reference to the giant star of the same name, which is 1,600 times greater than the sun. Of course Betelgeuse, as the reasoning in the previous paragraph shows, cannot have more elements than the world. It is only the largest finite being of the world.

(Chiamiamo questo elemento “Betelgeuse”, con riferimento alla stella gigante di pari nome, che è 1.600 volte più grande del sole. Sicuramente Betelgeuse, come il ragionamento nel paragrafo precedente mostra, non può avere più elementi del mondo. Essa è solo il più grande molteplice finito del mondo.)

But the second property of worlds stops us from leaving it at that. This property tells us that the set of parts of Betelgeuse is still an element of the world. Now—this is one of Cantor’s fundamental theorems—the set of parts of Betelgeuse is ‘more numerous’ than Betelgeuse itself. Whence a contradiction: contrary to what we assumed, Betelgeuse is not one of the biggest beings of the (supposedly finite) world.

(Ma la seconda proprietà dei mondi ci impedisce di fermarci qui. Questa proprietà ci dice che l’insieme delle parti di Betelgeuse è ancora un elemento del mondo. Ora – questo è uno dei teoremi fondamentali di Cantor – l’insieme delle parti di Betelgeuse è “più numeroso” di Betelgeuse stessa. Quindi segue una contraddizione: al contrario di quanto abbiamo assunto, Betelgeuse non è il più grande molteplice del mondo [supposto finito].)

(…)

When you pass from a multiple to its parts, you augment the number. And if you remain in the same world, this obviously means that no being of this world has a maximal number of elements.

(Quando passiamo da un molteplice alle sue parti, aumentiamo il numero. E se rimaniamo nello stesso mondo, questo ovviamente significa che nessun essere-molteplice di questo mondo ha un numero massimo di elementi.)

Ultimately, this forbids the world itself from being finite. For if you take the parts of Betelgeuse, then the parts of these parts, and so on, you create an ascending series of numbers, which will perforce surpass the (finite) number assigned to the world. That is impossible, since every composition of a being of the world is itself of the world.

(In ultimo, questo proibisce che il mondo stesso sia finito. Perché se prendiamo le parti di Betelgeuse, poi le parti di queste parti, e così via, creiamo una serie ascendente di numeri, che necessariamente sorpasseranno il numero [finito] assegnato al mondo. Questo è impossibile, dal momento che ogni composizione di un essere-molteplice del mondo appartiene al mondo.)

The principle ‘neither sub-sistence nor transcendence’ ultimately results in the necessity that every world be ontologically infinite. Of course, there are 100 billion stars in the galaxy (…) and these numbers, albeit noteworthy, are finite.

(Questo principio “né sotto-esistenza né trascendenza” in ultimo consegue dalla necessità che ogni mondo sia ontologicamente infinito. Di certo, ci sono 100 miliardi di stelle nella galassia (…) e questi numeri, sebbene degni di nota, sono finiti.)

This simply means that, to the extent that [it is] considered as ontologically deployed and transcendentally differentiated [world], the galaxy (…) cannot in any way be reduced to [her] stars.

(Questo semplicemente significa che, nella misura in cui il mondo è considerato dispiegato ontologicamente e differenziato trascendentalmente, la galassia (…) non può in alcun modo essere ridotta alle sue stelle.)

That much is suggested by the simple consideration of its subatomic legislation after the big-bang (or after the formation of galaxies, one billion years later) (…)

(Ciò è maggiormente suggerito dalla semplice considerazione della sua organizzazione subatomica dopo il big-bang [o dopo la formazione delle galassie, un miliardo di anni dopo) (…)

This infinite is not any infinite whatever. It is an infinite of the inaccessible type, in the following sense: you cannot construct its concept through any of the operations of ontology, such as these may be redeployed in the world.

(Questo infinito non è un infinito qualsiasi. E’ un infinito di tipo inaccessibile, nel seguente senso: non possiamo costruire il suo concetto attraverso alcuna operazione dell’ontologia (matematica, ndT), in quanto queste devono essere ridistribuite nel mondo.)

In other words, this infinite results neither from dissemination nor from the totalization of parts of a lesser quantity; since their results remain immanent to the world, the operations that concern the beneath (disseminated elementary matter) and the above (state of subsets) cannot attain or construct the degree of infinity of this world.

(In altre parole, questo infinito non risulta né dalla disseminazione né dalla totalizzazione delle parti di una quantità minore; dal momento che il loro risultato resta immanente al mondo, le operazioni che concernono il “sotto” (materia elementare disseminata) ed il “sopra” (stato dei sottoinsiemi) non possono ottenere o costruire il grado di infinità di questo mondo.)

The extension of a world remains inaccessible to the operations that open up its multiple being and allow it to radiate.

(L’estensione di un mondo rimane inaccessibile alle operazioni che aprono il suo essere-molteplice e gli consentono di venire alla luce.)

Georg-Wilhelm-Friedrich-Hegel
Credit: http://www.dialogoexistencial.com/

Like the Hegelian absolute, a world is the unfolding of its own infinity. But, unlike that Absolute, the world cannot internally construct the measure or the concept of the infinite that it is.

(Come l’assoluto hegeliano, un mondo è il dispiegamento della sua infinità. Ma, a differenza dell’Assoluto, il mondo non può costruire internamente la misura o il concetto dell’infinito che esso è.)

This impossibility is what assures that a world is closed, without it thereby being representable as a Whole from the interior of the scene of appearance that it constitutes. A world is closed for the operations that set out the being-qua-being of what appears within it: transitivity, dissemination, totalization of parts.

(Questa impossibilità è ciò che assicura che un mondo è chiuso, senza che sia in tal modo rappresentabile come un Tutto a partire dall’interno che esso costituisce. Un mondo è chiuso per le operazioni che selezionano l’essere in quanto essere di ciò che appare in esso: transitività, disseminazione, totalizzazione delle parti.)

Accordingly, if I apply, from the interior of a world, the laws of the expansive construction of the multiple to the multiple-beings that are transcendentally indexed in this world, I never leave it.

(Di conseguenza, se applichiamo, dall’interno del mondo, le leggi della costruzione espansiva del molteplice ai molteplici che sono indicizzati trascendentalmente a questo mondo, non usciamo mai fuori dal mondo stesso.)

But this does not mean that, for one who exists in this world, or who enjoys a non-nil self-identity in it, the world is totalizable, since the ‘number of the world’—its type of infinity, and therefore this world itself, as thought in its multiple-being—remains inaccessible to the operations of ontology.

(Ma questo non significa che, per un molteplice che esiste in questo mondo, o che gode di una identità a sé stesso non-nulla [per Badiou l’esistenza è il grado di identità a sé stesso di un molteplice che appare in un mondo, ndT], il mondo sia totalizzabile, dal momento che il “numero del mondo” – il suo tipo di infinità, e di conseguenza questo mondo stesso, in quanto pensato nel suo essere-molteplice – resta inaccessibile alle operazioni dell’ontologia.)

In this sense, a world remains globally open for every local figure of its immanent composition. It is with good reason that looking at the night sky, man—that resident of the galaxy always prone to overrate his own existence—beholds the limitless opening of his world in all directions.

(In questo senso, un mondo resta globalmente aperto ad ogni rappresentazione locale della sua stessa composizione immanente. E’ con buona ragione che guardando il cielo notturno, l’uomo – quell’abitante della galassia sempre incline a sopravvalutare la sua esistenza – osserva l’apertura senza limiti di questo mondo in tutte le direzioni.)

But it is also with good reason that, informed by science, which involves ontology properly so-called (mathematics), he can say, but not really see, that the Milky Way is the galaxy viewed from its side, and that the constellations harbour, as initially undetectable traces, the radiance of other worlds.

(Ma è anche con buona ragione che, informato dalla scienza, che implica l’ontologia propriamente detta (matematica), può dire, ma non realmente osservare, che la Via Lattea è la galassia vista dal suo lato e che le costellazioni ospitano, come tracce inizialmente non rilevabili, la luminosità di altri mondi.)

This paradoxical property of the ontology of worlds—their operational closure and immanent opening—is the proper concept of their infinity.

(Questa proprietà paradossale della ontologia dei mondi – la loro chiusura operazionale e l’apertura immanente – è il concetto proprio della loro infinità.)

We will sum it up by saying: every world is affected by an inaccessible closure.

(Noi riassumeremo ciò dicendo che ogni mondo è caratterizzato da una chiusura inaccessibile.)

*****************************

Aleph zero: il simbolo del numero cardinale che rappresenta l’infinito numerabile

In the theory of the pure multiple (ontology of sets), the measure of any multiple whatever is given by a cardinal number. Everybody knows the finite cardinals, which number and differentiate finite sets from the standpoint of pure quantity: one, two, three and so on. Cantor’s genius lay in introducing infinite cardinals, which do in the infinite what the natural wholes do in the finite: they tell us ‘how many’ elements there are in a given multiple. The fundamental result of this subsection can be put simply: every world is measured by an inaccessible infinite cardinal. We will now sketch the demonstration in a few steps.

(Nella teoria del molteplice puro [ontologia degli insiemi], la misura di qualsiasi molteplice è data da un numero cardinale. Ognuno conosce i cardinali finiti, che numerano e differenziano gli insiemi finiti dalla prospettiva della quantità: uno, due, tre e così via. Il genio di Cantor risiede nell’aver introdotto i cardinali infiniti, che fanno nell’infinito ciò che i numeri naturali fanno nel finito: essi ci dicono “quanti” elementi ci sono in un dato molteplice. Il risultato fondamentale di questa sotto-sezione può essere detto semplicemente: ogni mondo è misurato da un cardinale infinito inaccessibile. Delineeremo la dimostrazione in alcuni passi.)

As we recalled in the conceptual exposition (Section 1 of Book IV), the two fundamental operations of the theory of the pure multiple are dissemination and totalization.

(Come abbiamo ricordato nella esposizione concettuale [Sezione 1 del Libro IV], le due operazioni fondamentali del molteplice puro sono la disseminazione e la totalizzazione.)

1. Dissemination consists in considering the set of the elements of the elements of the initial multiple. If we write this dissemination as A, for a being A which appears in a world m, since an element of A is an element of an element of A, the formal definition of A is:

x A↔a [(a A) and (x a)]   (1)

(1. La disseminazione consiste nel considerare l’insieme degli elementi degli elementi del molteplice iniziale. Se scriviamo questa disseminazione come A, per un molteplice A che appare in un mondo m, dal momento che un elemento di A è un elemento di un elemento di A, la definizione formale di A è:

x A↔a [(a A) and (x a)]   [1] ).

It is characteristic of a world that what composes a multiple which appears in a world is also part of this world (property of transitivity of m). Otherwise, the being of the world, its matter, would be out of the world ‘from below’, which is a constitutive thesis for every idealist cosmology ever since the Timaeus, where Plato affirmed the irrational and ‘errant’ character of the material cause. In a general sense, we thus have:

[(A m) and (a A)] → (a m)  (2)

(E’ una caratteristica di un mondo che ciò che compone un molteplice che appare in un mondo è anche parte di questo mondo [proprietà di transitività di m]. Altrimenti, l’essere del mondo, la sua materia, sarebbe fuori dal mondo “da sotto”, che è la tesi costitutiva di ogni cosmologia idealista a partire dal Timeo, dove Platone affermò l’irrazionale ed “errante” carattere della causa materiale. In generale, avremo che:

[(A m) and (a A)] → (a m)  [2]. )

It follows from transitivity that all the elements of the elements of A indeed belong to the world m. From the fact that a, element of A, belongs to m, it follows that the elements x of a also belong to it. We therefore know that all the elements of A are elements of m. That the world is a world for the operation of dissemination thus means that the collection of the elements of A, that is A itself, is in turn an element of the world.

(Segue dalla transitività che tutti gli elementi di A appartengono infatti al mondo m. Dal fatto che a, elemento di A, appartiene ad m, segue che anche gli elementi di x di a appartengono ad esso. Noi sappiamo di conseguenza che tutti gli elementi di A sono elementi di m. Che il mondo sia un mondo per l’operazione di disseminazione significa così che la collezione degli elementi di A, che è A stesso, è a sua volta un elemento del mondo.)

In other words, the dissemination of every being A which appears in a world belongs (in the ontological sense, and not in the register of the object) to this world.

(In altre parole, la disseminazione di ogni molteplice A che appare in un mondo appartiene [nel senso ontologico, e non nel senso dell’oggetto fenomenologico] a questo mondo.)

2. Totalization consists in counting as one the set of the parts of the initial multiple. If we write it P(A), since an element of P(A) is a part (or subset) of A, its formal definition is the following:

x P(A)↔B [(B A) and (x = B)] (3)

It is characteristic of a world that the parts of a being which appears within it are also part of that world. Otherwise, the structuration of the world, that is the internal arrangement of the being of the objects appearing within it—the constitutive parts of these objects, or their ontological state—would be out of the world ‘from above’, which is also a constitutive thesis of every idealist cosmology, ever since Plato in the Timaeus affirmed that the arrangement of the world takes place on the basis of an intelligible transcendent model.

(2. La Totalizzazione consiste nel conto come uno dell’insieme delle parti del molteplice iniziale. Se scriviamo P(A), dato che un elemento di P(A) è una parte [o un sottoinsieme] di A, la sua definizione formale è la seguente:

x P(A)↔B [(B A) and (x = B)] [3]

E’ una caratteristica di un mondo quella che le parti di un essere-molteplice che appare in esso sono ancora parti di quel mondo. Diversamente, la strutturazione del mondo, che è l’organizzazione interna dell’essere degli oggetti che appaiono in esso – le parti costitutive di questi oggetti, o il loro stato ontologico – sarebbe fuori del mondo “da sopra”, che è anche una tesi costitutiva di ogni cosmologia idealista, a partire da Platone che nel Timeo affermò che l’organizzazione del mondo prende luogo sulla base di un modello trascendente intellegibile.)

For our part, we will posit that the parts of a being which is there in a world are also there in that world. In order again to avoid transcendence, in this instance the transcendence of the One, we will similarly posit that the count as one of these parts is itself in the world.

(Da parte nostra, noi porremo che le parti di un molteplice che appare in un mondo sono anche in quel mondo. Allo scopo, di nuovo, di evitare la trascendenza – in questo caso la trascendenza dell’Uno – noi porremo similmente che il conto come uno di queste parti è esso stesso nel mondo.)

The multiple constituted by all the parts of A thus belongs to every world in which A comes to appear. Therefore:

(A m) → (P(A) m) (4)

On the basis of these two properties, we will show that every world is infinite. The fundamental theorem used in these demonstrations is a famous theorem of Cantor, which I employed extensively in Being and Event, and which says that the cardinal that ‘numbers’ a set A is always inferior to the one that numbers the set P(A) of the parts of A.

(Il molteplice costituito da tutte le parti di A così appartiene a ogni mondo in cui appare A. Di conseguenza:

(A m) → (P(A) m) [4]

Sulla base di queste due proprietà, noi dimostreremo che ogni mondo è infinito. Il teorema fondamentale utilizzato in queste dimostrazioni è un famoso teorema di Cantor, che ho impiegato estensivamente ne “L’essere e l’evento”, e che dice che il numero cardinale di un insieme A è sempre inferiore a quello che “numera” l’insieme P(A) delle parti di A.)

George Cantor

For the philosophical assimilation of this technical result, the reader will refer to meditations 12, 13, 14, 26 and Appendix 3 of Being and Event. It will suffice here to note that we call cardinality of a multiple the cardinal that numbers this multiple (that ‘counts’ its elements).

(Per l’assimilazione filosofica di questo risultato tecnico, il lettore si riferirà alle meditazioni 12, 12, 14, 26 e all’Appendice 3 di L’Essere e l’Evento. Sarà sufficiente qui notare che chiameremo cardinalità di un molteplice il cardinale che “numera” questo molteplice [che “conta” i suoi elementi].)

First of all, we show that it is impossible for a being that appears in a world (which is an element of this world in the ontological sense) to be of a magnitude equal to that of the world itself. Take the cardinal κ, which measures the dimension of m.

(Prima di tutto, dimostreremo che è impossibile per un molteplice che appare in un mondo [che è un elemento di questo mondo nel senso ontologico] essere di una grandezza uguale a quella del mondo stesso. Prendiamo il cardinale κ, che misura la dimensione di m.)

Suppose that A m, and that the cardinality of A is also κ. By virtue of the operational closure of m for the operation of totalization, we know that P(A) also belongs to m. By virtue of Cantor’s theorem, the cardinality of P(A), let’s say η, is greater than that of A.

(Supponiamo che A m, e che la cardinalità di A sia anche κ. A causa della chiusura operazionale di m per l’operazione di totalizzazione, sappiamo che anche P(A) appartiene a m. Per il teorema di Cantor, la cardinalità di P(A), diciamo η, è più grande di quella di A.)

We thus have η > κ. But the world m is transitive: the elements of its elements also belong to it. Therefore, the elements of P(A) all belong to m. This means that there are at least η beings in the world m. This is strictly impossible, since what numbers m is κ, and κ is indeed smaller than η. The initial hypothesis must be rejected: no being-there of m has the same cardinality as m itself. This means that the ‘power’ of a world is intrinsically greater than that of all the beings which ontologically compose that world.

(Così abbiamo che η > κ. Ma il mondo è transitivo: gli elementi dei suoi elementi appartengono ancora ad esso. Di conseguenza, gli elementi di P(A) appartengono tutti ad m. Questo significa che ci sono al meno η molteplici nel mondo m. Questo è strettamente impossibile, dal momento che ciò che numera m è κ, e κ è infatti più piccolo di ηL’ipotesi iniziale deve essere rigettata: nessun molteplice che appare in m ha la stessa cardinalità di m stesso. Questo significa che il “potere” di un mondo è intrinsecamente più grande di tutti i molteplici che compongono ontologicamente quel mondo.)

Suppose now that a world m is finite. It has, let’s say, n elements (its cardinality is n, a finite number). By the reasoning above, all the beings that figure in m have less than n elements. Therefore, there exists a maximal cardinality for the beings of this world, let’s say q, with q < n. Take one of the beings which effectively has this maximal cardinality, say A m.

(Supponiamo ora che un mondo m sia finito. Esso ha, diciamo, n elementi (la sua cardinalità è n, un numero finito). Dal ragionamento fatto sopra, tutti i molteplici che figurano in m hanno meno di n elementi. Di conseguenza, esiste una cardinalità massima per i molteplici di questo mondo, diciamo q, con q < n. Prendiamo uno di questi molteplici che effettivamente ha questa cardinalità, diciamo A m.)

We know that P(A) is also a being in the ontological composition of m. But this is impossible, since the cardinality of P(A) is greater than that of A, that is greater than the number q, which is the maximal cardinality possible for an element of m.

(Sappiamo che P(A) è anche un molteplice nella composizione ontologica di m. Ma questo è impossibile, dato che la cardinalità di P(A) è più grande di quella di A, che è più grande del numero q, che è la massima cardinalità possibile per un elemento di m.)

We must therefore abandon the initial hypothesis: a world m, once it is closed for the operation of totalization P, cannot be finite. In other words, the cardinality κ of every world is an infinite cardinal number, and is consequently at least equal to every first infinite cardinal, the one which measures the set of whole numbers (the series 1, 2, 3, . . ., n, n+1, . . . to infinity), the famous 0 (Aleph zero).

(Dobbiamo perciò abbandonare l’ipotesi iniziale: un mondo m, dato che è chiuso per l’operazione di totalizzazione P, non può essere finito. In altre parole, la cardinalità κ di qualsiasi mondo è un numero cardinale infinito, ed è conseguentemente al minimo uguale ad ogni primo cardinale infinito, quello che misura l’insieme di tutti i numeri [la serie 1, 2, 3, . . ., n, n+1, . . .all’infinito], il famoso 0 [Aleph zero].)

The inaccessible character of the infinite cardinal which measures the extension of a world simply synthesizes, in the adjective ‘inaccessible’, the closure of this world by the fundamental operations of ontology, a closure (or operational immanence) which is itself the consequence of the fact that no transcendence governs the intelligibility of these worlds.

(Il carattere inaccessibile del cardinale infinito che misura l’estensione di un mondo sintetizza semplicemente, nell’aggettivo “inaccessibile”, la chiusura di questo mondo rispetto alle operazioni fondamentali dell’ontologia, una chiusura (o immanenza operazionale) che è essa stessa la conseguenza del fatto che nessuna trascendenza governa l’intelligibilità di questi mondi).

We observe in effect that it is impossible to ‘construct’ (or attain) the cardinality of the world on the basis of the cardinalities available in the world. That is the upshot of the foregoing demonstrations. Since the dissemination of a multiple belonging to m, like the totalization of its parts, is always made up of elements of this same m, and since the cardinality of an element of m remains lesser than that of m itself, it is clearly impossible to construct in a world, either from below (dissemination) or from above (totalization), anything whatsoever that may attain the numerical power of that world.

(Osserviamo in effetti che è impossibile “costruire” (o ottenere) la cardinalità di un mondo sulla base delle cardinalità disponibile nel mondo. Questo è il risultato della precedente dimostrazione. Dato che la disseminazione del molteplice che appartiene a m, come la totalizzazione delle sue parti, è sempre costituita di elementi dello stesso m, e dato che la cardinalità di un elemento di m rimane minore di quella di m stesso, è chiaramente impossibile costruire in un mondo, sia da “sotto” [disseminazione] che da “sopra” [totalizzazione], qualsiasi cosa che possa ottenere il potere numerico di quel mondo).

So, finally, it is firmly established that the magnitude of any world whatever is only measurable by an inaccessible infinite cardinal. This is the principle of inaccessible closure that governs the ontology of worlds.

(Così, finalmente, è fermamente stabilito che la grandezza di qualsiasi mondo è soltanto misurabile da un cardinale infinito inaccessibile. Questo è il principio di chiusura inaccessibile che governa l’ontologia dei mondi.)

Note that ‘inaccessible infinite’ does not as such mean ‘very large infinite’. The smallest of infinites, namely 0, is itself inaccessible. This is easy to grasp: the elements of 0 are the natural numbers, that is the finite cardinals. It is evident that, applied to finite multiples, the operations of dissemination and totalization only produce finite results.

(Nota che “infinito inaccessibile” non significa in quanto tale “infinito molto grande”. Il più piccolo degli infiniti, propriamente 0,  è esso stesso inaccessibile. Questo è facile da comprendere: gli elementi di 0 sono i numeri naturali, cioè i cardinali finiti. E’ evidente che, applicate ai molteplici finiti, le operazioni di disseminazione e totalizzazione producono soltanto risultati finiti.)

The cardinal 0 is therefore certainly inaccessible, for it marks the absolute caesura between the finite and the infinite. In fact, it is the number of a world: the world of whole numbers, or world of arithmetic, already thoroughly explored by the Greeks. Then again, an inaccessible cardinal greater than 0 must truly be gigantic.

(Il cardinale 0 è di conseguenza certamente inaccessibile, perché esso individua l’assoluta cesura tra il finito e l’infinito. Infatti, esso è il numero di un mondo: il mondo di tutti i numeri, o il mondo dell’aritmetica, già scrupolosamente esplorato dai Greci. Allora, di nuovo, un cardinale inaccessibile più grande di 0 deve essere veramente gigantesco.)

This is also easily grasped, for it would need to have the same relationship to the innumerable series of infinite cardinals as 0 does to the finite cardinals. In this sense, an inaccessible cardinal greater than 0 would carry out something like a ‘finitization’ of all the infinites smaller than it. Whence an almost unrepresentable power of infinity.

(Questo è anche facilmente comprensibile, perché necessiterebbe di avere la stessa relazione alla serie non numerabile di cardinali infiniti così come 0 fa nei confronti dei cardinali finiti. In questo senso, un cardinale inaccessibile più grande di 0 effettuerebbe qualcosa come una “finitizzazione” di tutti gli infiniti più piccoli di esso. Quindi un potere di infinità pressoché irrapresentabile.)

Moreover, to affirm the existence even of a single cardinal of this kind requires a special axiom. One demonstrates—by means that exceed the present exposition—that with the ordinary axioms of the theory of the multiple it is absolutely impossible to prove the existence of such a cardinal.

French mathematician Alexandre Grothendieck, who has died aged 86
Il matematico Alexander Grothendieck

(Inoltre, per affermare l’esistenza anche di un singolo cardinale di questo tipo occorre un assioma speciale. Si mostra – con strumenti che esulano dalla presente esposizione – che con gli ordinari assiomi della teoria del molteplice è assolutamente impossibile provare l’esistenza di tale cardinale.)

Our only certainty is that a world can only be measured by an inaccessible cardinal. This also means that every ‘world’ that would lay claim to anything less would not be a world. This is one of the aspects of the unrelenting conceptual struggle that must be waged against the different facets of finitude. But we do not yet possess any valid means to choose between two hypotheses: either all worlds have a cardinality 0 (as mathematicians say, all worlds are indeed infinite, but denumerable), or there exist worlds whose inaccessible infinite cardinality is greater than 0.

(La nostra sola certezza è che un mondo può solo essere misurato da un cardinale inaccessibile. Questo significa anche che ogni “mondo” che avanzasse delle pretese minori di questa non sarebbe un mondo. Questo è uno degli aspetti della accanita battaglia concettuale che deve essere portata avanti contro le differenti sfaccettature della finitudine. Ma noi non possediamo alcun valido strumento per scegliere tra due ipotesi: se cioè tutti i mondi hanno una cardinalità 0 (come i matematici affermano, tutti i mondi sono infatti infiniti, ma numerabili), o se invece esistono mondi la cui cardinalità infinita inaccessibile è più grande di 0. )

This second option has my preference, but I must confess it is only a preference. It preserves the horizon of worlds endowed with an extensive power in comparison with which the figures of the inaccessible that are known to us remain derisory.”

(Questa seconda opzione ha la mia preferenza, ma devo confessare che è solo una preferenza. Essa preserva l’orizzonte dei mondi dotandoli di un potere estensivo nei confronti del quale le forme dell’inaccessibile che sono conosciute rimangono irrisorie.)

**************

Nota: Il mondo di cui parla Badiou nel brano sopracitato è chiamato in matematica Universo di Grothendieck.

Un universo di Grothendieck è un insieme G tale che:

1. Se x è un elemento di G e y è un elemento di x allora anche y è un elemento di G (G è transitivo).

2. Se x e y sono elementi di G allora {x,y} è un elemento di G.

3. Se x è un elemento di G, allora P(x), l’insieme delle parti di x, è un elemento di G.

4. Se x è un elemento di G allora l’unione x è un elemento di G.

Un universo di Grothendieck è equivalente a un cardinale fortemente inaccessibile, che in termini formali implica l’equivalenza fra i seguenti 2 assiomi:

(i) Per ogni insieme x, esiste un universo di Grothendieck G tale che x G ;

(ii) Per ogni cardinale k, esiste un cardinale fortemente inaccessibile q, che è strettamente più grande di k.

L’esistenza dei cardinali inaccessibili NON è deducibile dal sistema assiomatico ZFC, per cui occorre un nuovo assioma, che è quello dell’esistenza di un universo di Grothendieck (ZFC+U).

Annunci

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...